まあ、もらえたとしても期間を通算したほうが長い目でみればお得だと思います。いつ仕事が見つかるか分からないので、失業保険の手続きを踏むべきかと考えています。ハローワークに申請すると翌日から７日間の待機期間と言うものがあります。

仕事が見つかりません。
契約社員だったのですが、無理やり契約を切られてから、安定した仕事に就けません。

7月末にもらった離職票は手元にあるのですが、貰えるのが3ヶ月後ということで、職安に提出しないで仕事を探して短期間働いていましたが、今は無職です。
いつ仕事が見つかるか分からないので、失業保険の手続きを踏むべきかと考えています。パートでも短期間でも、離職してから働いた場合は、契約社員の会社からの離職票は受理されないでしょうか？

無職になってからまだ1ヶ月しか経っていないのですが、母も要介護なので気持ちばかり焦ってしまいます。
どこの会社も扶養控除内の勤務で、もっと働きたいのに会社側に制限があって収入が安定しないのです。
掛け持ちも考えているのですが、なかなか決まった時間に終わるようなところもありません。

また親の介護が必要な場合、失業保険がすぐ貰えるなどの制度はないでしょうか？
よろしくお願いします。

まず給付制限期間3か月後というのはハローワークで手続きしてから3カ月なので、ともかくさっさとハローワークで手続きしないとだめですよ。
パートでちょこっと勤めたのは雇用保険に入ってないなら別に計算に入れなくていいです。
パワハラにあった事実をきっちり文書にしたたためてあるなら、それを持って行きましょう。
もしかしたら3カ月待機はずしてもらえるかもしれませんよ。
（私がやってもらったのは、かなり昔のことなので、現在のように、厳しくなった状態で通用するかは謎です）

ともかく手続きは急ぎましょう。
ハローワークで相談する時は変に感情的にならずにすむよう、言いたいことは文章にまとめて予行演習してきましょう。
私はA4、6枚くらいにびっちり書いてもっていきました。
泣いたり激昂したりは禁物です。

失業保険について質問です。
私は、3月31日で会社都合で退職したのですが、
離職票は、会社が翌月15日締めの関係上、
現時点ではまだ来ていません。
それで仮に、5月のG.W明け（5/6）から就職先が決まった場合、
失業保険はどうなるのでしょうか？

また、もし離職票が来週明けに届いて職安に提出した場合、
受給資格決定日から待機期間7日間の前に5/6となってしまったら、
失業給付金の支給対象とはならないのでしょうか？
そうなった場合、離職票を提出せずに雇用保険被保険者期間を通算した方が得なのでしょうか？

よろしくお願いします。

ハローワークに申請すると翌日から７日間の待機期間と言うものがあります。
その７日間は完全失業状態でなければなりません。ですから、待機期間７日の前に就職が決まれば申請も出来ないことになります。
まあ、もらえたとしても期間を通算したほうが長い目でみればお得だと思います。

今の会社を3月20日付で退社します。（7年正社員で勤めました）5月に結婚するため寿退社です。6月からパートで同じ会社で働くんですが失業保険はもらえますか？

離職後7日間を「待機期間」、その後の3ヶ月を「給付制限期間」といい、その間失業給付金の受給はできません。
受給資格者となる時点では、パートといえども「再就職」したことになりますので、今回は受給することはできません。